Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，过点P作⊙O的切线PD交AC于D．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）若∠BAC=120°，BC=4，求⊙O的半径长．

Answer 1

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC，
而AB=AC，
∴PB=PC，
而OB=OA，
∴OP为△ABC的中位线，
∴OP∥AC，
又∵DP是⊙O的切线，
∴OP⊥DP，
∴PD⊥AC；

（2）解：∵AP⊥BC，AB=AC，
∴AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠BAC=60°，
而BC=4，
∴PB=2，
在Rt△ABP中，∠B=90°-60°=30°，
∴PB=AP，
∴AP=2，
∴AB=2AP=4，
∴⊙O的半径长为2．
分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到AP⊥BC，而AB=AC，由等腰三角形的性质得PB=PC，则OP为△ABC的中位线，得OP∥AC；根据切线的性质有OP⊥DP，即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到AP平分∠BAC，即∠BAP=∠BAC=60°，在Rt△ABP中，∠B=90°-60°=30°，PB=BC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到PB=AP，则AP=2，AB=2AP=4，即可得到⊙O的半径长．
点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、含30度的直角三角形三边的关系以及圆周角定理的推论．