【题目】(题文)(题文)在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动.△ABC是边长为2的等边形,E是AC上一点,小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF,连接CF.
(1)如图1,当点E在线段AC上时,EF、BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等,请你找出来,并证明.
(2)当点E在线段上运动时,点F也随着运动,若四边形ABFC的面积为,求AE的长.
(3)如图2,当点E在AC的延长线上运动时,CF、BE相交于点D,请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系.并说明理由.
(4)如图2,当△ECD的面积S1= 时,求AE的长.
【答案】(1)△ABE≌△CBF,证明见解析;(2);(3)S2﹣S1=,证明见解析;(4)3
【解析】(1)结论:△ABE≌△CBF.理由等边三角形的性质,根据SAS即可证明;
(2)由△ABE≌△CBF,推出S△ABE=S△BCF,推出S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=,由S四边形ABCF=,推出S△ABE=,再利用三角形的面积公式求出AE即可;
(3)结论:S2-S1=.利用全等三角形的性质即可证明;
(4)首先求出△BDF的面积,由CF∥AB,则△BDF的BF边上的高为,可得DF=,设CE=x,则2+x=CD+DF=CD+,推出CD=x-,由CD∥AB,可得,即,求出x即可;
(1)结论:△ABE≌△CBF.
理由:如图1中,
∵△ABC,△BEF都是等边三角形,
∴BA=BC,BE=BF,∠ABC=∠EBF,
∴∠ABE=∠CBF,
∴△ABE≌△CBF.
(2)如图1中,∵△ABE≌△CBF,
∴S△ABE=S△BCF,
∴S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=,
∵S四边形ABCF=,
∴S△ABE=,
∴AEABsiin60°=,
∴AE=.
(3)结论:S2-S1=.
理由:如图2中,
∵△ABC,△BEF都是等边三角形,
∴BA=BC,BE=BF,∠ABC=∠EBF,
∴∠ABE=∠CBF,
∴△ABE≌△CBF,
∴S△ABE=S△BCF,
∵S△BCF-S△BCE=S2-S1,
∴S2-S1=S△ABE-S△BCE=S△ABC=.
(4)由(3)可知:S△BDF-S△ECD=,
∵S△ECD=,
∴S△BDF=,
∵△ABE≌△CBF,
∴AE=CF,∠BAE=∠BCF=60°,
∴∠ABC=∠DCB,
∴CF∥AB,则△BDF的BF边上的高为,可得DF=,
设CE=x,则2+x=CD+DF=CD+,
∴CD=x-,
∵CD∥AB,
∴,即,
化简得:3x2-x-2=0,
解得x=1或(舍弃),
∴CE=1,AE=3.
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【题目】有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等.
(1)用“>”“<”或“=”填空:b______0,a+b______0,a-c______0,b-c______0;
(2)|b-1|+|a-1|=________;
(3)化简:|a+b|+|a-c|-|b|+|b-c|.
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【题目】是线段上任一点,,两点分别从同时向点运动,且点的运动速度为,点的运动速度为,运动的时间为.
(1)若,
①运动后,求的长;
②当在线段上运动时,试说明;
(2)如果时,,试探索的值.
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【题目】如图,△ABC中,AH⊥BC,BF平分∠ABC,BE⊥BF,EF∥BC,以下四个结论①AH⊥EF,②∠ABF=∠EFB,③AC∥BE,④∠E=∠ABE.正确的是( )
A. ①②③④ B. ①② C. ①③④ D. ①②④
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【题目】已知函数y=(2m+1)x+m﹣3.
(1)若函数图象经过原点,求m的值;
(2)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围;
(3)若这个函数是一次函数,且图象不经过第四象限,求m的取值范围.
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【题目】某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?
(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调a(0<a<200)元,且限定商店最多购进A型电脑60台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.
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【题目】用火柴棒按下图的方式搭塔式三角形,第一个图用了3根火柴棒,第二个图用了9根火柴棒,第三个图用了18根火柴棒,......,照这样下去,第9个图用了_____根火柴棒.
……
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【题目】如图,每个小正方形的边长均为,阴影部分是一个正方形.
(1)阴影部分的面积是__________,边长是____________;
(2)写出不大于阴影正方形边长的所有正整数;
(3)为阴影正方形边长的小数部分,为的整数部分,求的值.
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【题目】如图,把一张长方形的纸片ABCD沿BD对折,使C点落在E点处,BE与AD相交于点O。
(1)由折叠可知△BCD≌△BED,除此之外,图中还存在其他的全等三角形,请写出其他一组全等三角形__________________.
(2)图中有等腰三角形吗?请你找出来__________________.
(3)若AB=6,BC=8,求OB的长度。
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