Question

某数学兴趣小组在探索“圆的有关相交弦问题”时，
甲同学说：我知道经过圆内一点有无数条弦，并且存在最长弦和最短弦．
乙同学说：我能证明经过圆内一点的弦被这一点分成两条线段的积是定值（R²-d²）．请你以甲乙同学所说的作为依据，结合自己所学的知识探索：P是⊙O中一点，⊙O的半径R=5cm，d=OP=3cm．请你直接写出经过P点的最长弦长=

 

，最短弦长=

 

．并说出最长弦与最短弦的位置关系．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：根据题意可知，圆内最长的弦是直径，最短的弦是过点P与直经AB垂直的弦．

解答：解：如图所示：
∵⊙O的半径R=5cm，
∴AB=2R=10cm，
连接OC，
∵OC=5cm，OP=3cm，
∴PC=

52-32

=4cm，
∴CD=2PC=8cm．
故答案分别为：10cm，8cm．

点评：本题考查的是垂径定理，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，再根据勾股定理求解．