【题目】如图,在矩形ABCD中,E是AD上一点,AB=8,BE=BC=10,动点P在线段BE上(与点B、E不重合),点Q在BC的延长线上,PE=CQ,PQ交EC于点F,PG∥BQ交EC于点G,设PE=x.
(1)求证:△PFG≌△QFC
(2)连结DG.当x为何值时,四边形PGDE是菱形,请说明理由;
【答案】
(1)证明:∵BC=BE,∴∠BCE=∠PEC,
∵PG∥BQ,
∴∠BCE=∠PGE,∠Q=∠FPG,∠QCF=∠PGF,
∴∠PGE=∠PEC,
∴PE=PG,
∵PE=CQ,
∴PG=CQ,
∴△PFG≌△QFC (ASA).
(2)解:结论:当x=4时,四边形PGDE是菱形.
理由如下:连结DG
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
AB=CD=8,AD=BC=BE=10,
在Rt△ABE中,AE= ,
∴DE=AD﹣AE=10﹣6=4,
由(1)知PG=PE=x=4,
∴PG=DE,
∵PG∥BQ,AD∥BC,
∴PG∥DE,
∴四边形PGDE是平行四边形,
∵PG=PE=4,
∴四边形PGDE是菱形.
;(3)作PH⊥EC于点H.探究:
①点P在运动过程中,线段HF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求HF的长度;
②当x为何值时,△PHF与△BAE相似.
解:①不变化.
理由:在Rt△ABE中,CE= ,
∵PG=PE,PH⊥EC,
∴EH=HG= EG(等腰三角形“三线合一”),
∵△PFG≌△QFC,
∴CF=GF= CG,
∴HF=HG+FG= EG+
CG=
CE=
,
②∵PG∥DE,
∴∠DEC=∠PGH,
在Rt△PGH中,PH=PG×sin∠PGH=x×sin∠DEC=x× =x×
=
,
分两种情况讨论:
(Ⅰ)若△PHF∽△EAB,则 ,
∴ ,
∴ ,
∴当 时,△PHF∽△BAE.
(II)若△PHF∽△BAE,则 ,
∴ ,
∴ ,
∴当 或
时,△PHF与△BAE相似.
【解析】(1)只要证明PG=CQ,即可根据AAS或ASA证明;(2)结论:当x=4时,四边形PGDE是菱形.首先证明四边形PGDE是平行四边形,由PG=PE=4,即可推出四边形PGDE是菱形;(3)①不变化.可以证明:HF=HG+FG= EG+
CG=
CE=
;②分两种情形讨论(Ⅰ)若△PHF∽△EAB,则
,(II)若△PHF∽△BAE,则
,分别列出方程即可解决问题;
【考点精析】根据题目的已知条件,利用相似三角形的应用的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握测高:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决;测距:测量不能到达两点间的举例,常构造相似三角形求解.
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【题目】如图,已知∠1=∠2,要得到△ABD≌△ACE,从下列条件中补选一个,则错误的是( )
A.AB=AC B.DB=EC C.∠ADB=∠AEC D.∠B=∠C
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【题目】某机构对2016年微信用户的职业颁布进行了随机抽样调查(职业说明:A:党政机关、军队,B:事业单位,C:企业,D:自由职业及人体户,E:学生,F:其他),图1和图2是根据调查数据绘制而成的不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)该机构共抽查微信用户人;
(2)在图1中,补全条形统计图;
(3)在图2中,“D”用户所对应扇形的圆心角度数为度;
(4)2016年微信用户约有7.5亿人,估计“E”用户大约有亿人.
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【题目】如图1,方格图中每个小正方形的边长为1,点A、B、C都是格点.
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1;
(2)直接写出AA1的长度;
(3)如图2,A、C是直线MN同侧固定的点,D是直线MN上的一个动点,在直线MN上画出点D,使AD+DC最小.(保留作图痕迹)
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【题目】一次期中考试中A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示:
A | B | C | D | E | 平均分 | 标准差 | |
数学 | 71 | 72 | 69 | 68 | 70 | ||
英语 | 88 | 82 | 94 | 85 | 76 | 85 |
【1】求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差;
【2】为了比较不同学科考试成绩的好与差,采用标准分是一个合理的选择,标准分的计算公式是标准分=(个人成绩-平均成绩)÷成绩标准差. 从标准分看,标准分大的考试成绩更好,请问A同学在本次考试中,数学与英语哪个学科考得更好.
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【题目】下图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速(单位:千米/小时)情况,则下列关于车速描述错误的是( )
A. 平均数是23 B. 中位数是25 C. 众数是30 D. 方差是129
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,-2),B(1,1),C(-3,1),△A1B1C1是△ABC向下平移2个单位,向右平移3个单位得到的.
(1)写出点A1、B1、C1的坐标,并在右图中画出△A1B1C1;
(2)求△A1B1C1的面积.
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【题目】如图,在△ABC中,∠A=m°,∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1 , 得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2 , 得∠A2;…∠A2016BC和∠A20l6CD的平分线交于点A2017 , 则∠A2017=°.
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