Question

如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，⊙O外一点E与B的连线交⊙O于D点，连接CD．
（1）求证：∠EDA=∠ACB；
（2）若∠ADE=∠ADC，求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

考点：圆内接四边形的性质,等腰三角形的判定,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）由邻补角互补可得∠ADB+∠EDA=180°，由圆内接四边形的对角互补可得∠ADB+∠ACB=180°，那么根据同角的补角相等即可证明∠EDA=∠ACB；
（2）根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，而∠ADE=∠ADC，∠EDA=∠ACB，等量代换得出∠ABC=∠ACB，根据等角对等边得出AC=AB，即△ABC是等腰三角形．

解答：证明：（1）∵∠ADB+∠EDA=180°，∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠EDA=∠ACB；

（2）∵∠ADC=∠ABC，∠ADE=∠ADC，∠EDA=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AC=AB，
∴△ABC是等腰三角形．

点评：本题考查了圆内接四边形的性质，邻补角的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，难度适中．