【题目】如图,已知抛物线经过A(﹣2,0)B(﹣3,3)及原点O,顶点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点是四边形是平行四边形,求点D的坐标.
(3)P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似?
【答案】
(1)
解:设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
将点A(﹣2,0),B(﹣3,3),O(0,0),代入可得:
,
解得: ,
所以函数解析式为:y=x2+2x
(2)
解:①以AE为边时,∵A,O,D,E为顶点的四边形是平行四边形,
∴DE=AO=2,D在x轴向方不可能,
∴D在x轴上方,且DE=2,当D点在对称轴直线x=﹣1的右侧时,D的坐标为(1,3);
当D点在对称轴直线x=﹣1的左侧时,根据二次函数图象的对称性可知点D的坐标为(﹣3,3),
②以AO为对角线时,则DE与AO互相平分,
∵点E在对称轴上,且线段AO的中点横坐标为﹣1,
由对称性可知,符合条件的点D只有一个,与点C重合,即C(﹣1,﹣1),
综上点D的坐标为(1,3)或(﹣3,3)(﹣1,﹣1)
(3)
解:假设存在点P,使以P,M,A为顶点的三角形与△BOC相似,如图 ,
设P(x,y),由题意知x>0,y>0,且y=x2+2x,
由题意,△BOC为直角三角形,∠COB=90°,且OC:OB=1:3,
①若△PMA∽△COB,则 =
,
即x+2=3(x2+2x),得
x1= ,x2=﹣2(舍去),当x=
时,y=
,即P(
,
);
②若△PMA∽△BOC, =
,
即:x2+2x=3(x+2),
得:x1=3,x2=﹣2(舍去)当x=3时,y=15,即P(3,15)
故符合条件的点P有两个,分别( ,
)或(3,15)
【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),把点A(﹣2,0),B(﹣3,3),O(0,0),代入求出a,b,c的值即可;(2)首先由A的坐标可求出OA的长,再根据四边形AODE是平行四边形,D在对称轴直线x=﹣1右侧,进而可求出D横坐标为:﹣1+2=1,代入抛物线解析式即可求出其横坐标;根据平行四边形的对角线互相平分,可得答案;(3)分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM,从而表示出点P的坐标,代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值,从而确定点P的坐标.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点,需要掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能正确解答此题.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,∠AOC为直角,OC是∠BOD的平分线,且∠AOB=57.65°,则∠AOD的度数是( )
A. 122°20′ B. 122°21′ C. 122°22′ D. 122°23′
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC中,AD⊥BC,点E在AC的垂直平分线上,且BD=DE.
(1)如果△ABC的周长为14cm,AC=6cm,那么△ABE的周长=____;
(2)你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长?请证明你的结论.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某市为创建全国文明城市,开展“美化绿化城市”活动,计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米.自2013年初开始实施后,实际每年绿化面积是原计划的1.6倍,这样可提前4年完成任务.
(1)问实际每年绿化面积多少万平方米?
(2)为加大创城力度,市政府决定从2016年起加快绿化速度,要求不超过2年完成,那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表:
已知该班共有27人获得奖励(每位同学均可获得不同级别、不同类别多项奖励),其中只获得两项奖励的有13人,那么该班获得奖励最多的一位同学可能获得的奖励为( )
A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0;其中正确的个数有个.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在数轴上,点A向右移动1个单位得到点B,点B向右移动(n+1)(n为正整数)个单位得到点C,点A、B、C分别表示有理数a、b、c.
(1)当n=1时,A、B、C三点在数轴上的位置如图所示,a、b、c三个数的乘积为正数.
①数轴上原点的位置可能( )
A.在点A左侧或在A、B两点之间
B.在点C右侧或在A、B两点之间
C.在点A左侧或在B、C两点之间
D.在点C右侧或在B、C两点之间
②若这三个数的和与其中的一个数相等,则a=_________(简述理由)
(2)将点C向右移动(n+2)个单位得到点D,点D表示有理数d,a、b、c、d四个数的积为正数,且这四个数的和与其中的两个数的和相等,a为整数,若n分别取1,2,3,…,100时,对应的a的值分别记为,…,
,则
.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,D、E分别是AC和AB上的点,BD与CE相交于点O,给出下列四个条件:
①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.
(1)上述四个条件中,由哪两个条件可以判定AB=AC?(用序号写出所有的情形)
(2)选择(1)小题中的一种情形,说明AB=AC.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,反比例函数y= (x<0)的图象经过点A(﹣1,1),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,在y轴的正半轴上取一点P(0,t),过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上,则t的值是( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com