Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．
（1）如图l，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接PC、PA，PA交y轴于点F，设点P的横坐标为t，△CPF的面积为S．求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接BC，过点P作PD∥y轴变BC于点D，点H为AF中点，且点N（0，1），连接NH、BH，将∠NHB绕点H逆时针旋转，使角的一条边H落在射线HF上，另一条边HN变抛物线于点Q，当BH=BD时，求点Q坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=﹣ x2+bx+c过点A（﹣4，0），B（6，0），

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+x+12．

（2）

解：如图1所示：过点P作PR⊥y轴，交y轴于点R，过点P作PL⊥AB于点L．

点P（t，﹣ t2+t+12），则AL=t+4，PL=﹣ t2+t+12=﹣ （t+4）（t﹣6）．

∴tan∠PAL= =3﹣ t．

在Rt△FAO中，tan∠FAO= = =3﹣ t．

∴OF=12﹣2t．

∴CF=CO﹣OF=12﹣（12﹣2t）=2t，

∴S△CPF= CFPR= ×2tt=t2．

（3）

解：延长PD交x轴于点L，取OA的中点K，连接HK，过点H作HG⊥y轴于点G，过点Q作QM⊥HG于点M．

∵OF=12﹣2t，点H为AF的中点，HK⊥OA，

∴HK= OF=6﹣t=BL．

∵在Rt△BHK和Rt△DBL中，HK=BL，BH=BD，

∴Rt△BHK≌Rt△DBL

∴BK=DL=8．

直线BC的解析式为y=﹣2x+12，

∴点D（t，﹣2t+12）．

∵DL=12﹣2t=8，

∴t=2．

∴点P（2，12），点H（﹣2，4）．

∴tan∠AHK=tan∠HBK= ，

∴∠AHK=∠HBK，

∴∠AHB=90°．

∵∠NHB=∠PHQ，

∴∠NHQ=90°，

∴∠HNG=∠QHM．

∵点N（0，1），HG=2，

∴GN=3，tan∠HNG=tan∠QHM= ， = ．

设点Q（m，﹣ m2+m+12），QM=﹣ m2+m+12﹣4=﹣ m2+m+8，HM=m+2．

∴ = ，解得：m1=﹣ （舍去），m2=4，

∴点Q（4，8）．

【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线y=﹣ x2+bx+c的解析式，得到关于b、c的方程组，然后解得b、c的值即可；（2）过点P作PR⊥y轴，交y轴于点R，过点P作PL⊥AB于点L．设点P（t，﹣ t2+t+12），则AL=t+4，PL=﹣ （t+4）（t﹣6），可求得tan∠PAL=3﹣ t，从而得到=12﹣2t，最后依据S△CPF= CFPR求解即可；（3）延长PD交x轴于点L，取OA的中点K，连接HK，过点H作HG⊥y轴于点G，过点Q作QM⊥HG于点M．首先证明Rt△BHK≌Rt△DBL，从而得到BK=DL=8，然后求得直线BC的解析式，设点D（t，﹣2t+12），然后由DL=8可求得t的值，从而得到点P和点H的坐标，然后再求得 = ，设点Q（m，﹣ m2+m+12），则QM=﹣ m2+m+8，HM=m+2，最后再依据 = 列方程求解即可．