Question

2．如图，矩形ABCD中，AB=4，E是BC边上一点，且BE=3，点P是射线AD上的一个动点，过点P作PF⊥AE，垂足为F，连接PE．
（1）△PFA与△ABE相似吗？请说明理由；
（2）若△PFE与△ABE相似，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，得到∠B=90°，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠PAF=∠AEB，于是得到△PFA∽△ABE；
（2）在R_t△ABEz中，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=5，设AP=x，由（1）证得△PFA∽△ABE，根据比例式$\frac{AP}{AE}=\frac{AF}{BE}$，得到AF=$\frac{3}{5}$x，EF=5-$\frac{3}{5}$x，PF=$\sqrt{A{P}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{4}{5}$x，由于△PFE与△ABE相似，于是得到$\frac{PF}{BE}=\frac{EF}{AB}$，或$\frac{PF}{AB}=\frac{EF}{BE}$，代入数值即可求得结果．

解答 解：（1）相似，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠PAF=∠AEB，
∵PF⊥AE，
∴∠AFP=90°=∠B，
∴△PFA∽△ABE；

（2）在R_t△ABEz中，
∵AB=4，BE=3，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=5，
设AP=x，
由（1）证得△PFA∽△ABE，
∴$\frac{AP}{AE}=\frac{AF}{BE}$，
∴AF=$\frac{3}{5}$x，
∴EF=5-$\frac{3}{5}$x，PF=$\sqrt{A{P}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{4}{5}$x，
∵△PFE与△ABE相似，
∴$\frac{PF}{BE}=\frac{EF}{AB}$，或$\frac{PF}{AB}=\frac{EF}{BE}$，
即$\frac{\frac{4}{5}x}{3}=\frac{5-\frac{3}{5}x}{4}$，或$\frac{\frac{4}{5}x}{4}=\frac{5-\frac{3}{5}x}{3}$，
解得：x=3，或x=$\frac{25}{6}$，
∴AP=3，或AP=$\frac{25}{6}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，特别是（2）要分类讨论．