Question

在等边△ABC中，D为BC上一点，BD=2CD，DE⊥AB于点E，CE交AD于点P，求∠APE的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：如图，根据等边三角形的性质就可以得出∠B=∠ACB=60°，BC=AC，再由直角三角形BED中，30度所对的直角边等于斜边的一半得到BD=2BE，由BD=2CD，等量代换得到BE=CD，利用SAS得到三角形BEC与三角形ADC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠BCE=∠DAC，利用内角和定理及外角性质即可确定出所求角的度数．

解答：解：如图所示，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
在Rt△BDE中，∠BDE=30°，
∴BD=2BE，
∵BD=2DC，
∴BE=DC，
在△BEC和△CDA中，

BC=AC ∠ABC=∠ACB=60° BE=CD

，
∴△BEC≌△CDA（SAS），
∴∠BCE=∠CAD，
∴∠ADC+∠BCE=∠ADC+∠CAD=180°-∠ACB=120°，
∵∠APC为△PDC的外角，
∴∠APC=∠ADC+∠BCE=120°，
则∠APE=60°．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．