Question

如图，四边形ABCD是正方形，点P在BC上，点F在DP上，将△ADF绕点A顺时针针旋转到△ABG，GB与DP的延长线交于点E．
（1）求证：GE⊥DE；
（2）若AE=mEG，探究EG与EF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据旋转的性质得出∠GAB=∠FAD，∠G=∠AFD，进而求得∠GAF=90°∠G+∠AFE=180°，根据四边形的内角和360°，即可求得∠GEF=90°，进而求得GE⊥DE．
（2）作AM⊥GE，交EG的延长线于M，作AN⊥ED于N，从而证得△AMG≌△ANF和四边形AMEN是正方形，进一步证得MG=NF，AM=AN，证得EF=EG+2MG，ME=MG+EG=

2

2

AE，根据已知得出MG=（

2

2

m-1）EG，即可证得EF=（

2

m-）EG．

解答：（1）证明：∵△AGB≌△AFD，
∴∠GAB=∠FAD，∠G=∠AFD，
∵∠BAD=∠FAD+∠BAF=90°，∠AFD+∠AFE=90°，
∴∠GAB+∠BAF=90°，
∴∠GAF=90°∠G+∠AFE=180°，
∴∠GEF=90°，
∴GE⊥DE；
（2）如图，作AM⊥GE，交EG的延长线于M，作AN⊥ED于N，
∴∠AGM=∠AEN，
在△AMG与△ANF中，

∠M=∠ANF=90° ∠AGM=∠AFN AG=AF

，
∴△AMG≌△ANF（AAS），
∴MG=NF，AM=AN，
∵∠AME=∠ANE=∠GEF=90°，
∴四边形AMEN是正方形，
∴AM=AN=ME=EN，
∴EF=EG+2MG，ME=MG+EG=

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AE，
∵AE=mEG，
∴MG+EG=

2

2

•mEG，
∴MG=（

2

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m-1）EG，
∴EF=EG+2MG=EG+2（

2

2

m-1）EG=（

2

m-1）EG，
即EF=（

2

m-）EG．

点评：本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建正方形是本题的关键．