Question

已知二次函数y=-x²+bx+c的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于C点，对称轴与x轴交与M，若A（1，0），又有OM=OC，求函数解析式．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式

专题：计算题

分析：先利用对称轴表示出M点坐标为（-

b

2

，0），而C点坐标为（0，c），利用OM=OC得到|c|=|

b

2

|，c=

b

2

或c=-

b

2

，然后分类讨论：当c=

b

2

时，y=-x²+bx+

b

2

；当c=-

b

2

时，y=-x²+bx-

b

2

，再把A点坐标分别代入求出b的值，从而得到对应c的值，于是可确定函数解析式．

解答：解：抛物线的对称轴为直线x=-

b

2

，则M点坐标为（-

b

2

，0），
∵OM=OC，
∴OC=|

b

2

|，
而C点坐标为（0，c），
∴|c|=|

b

2

|，
∴c=

b

2

或c=-

b

2

，
当c=

b

2

时，y=-x²+bx+

b

2

，把A（1，0）代入得-1+b+

b

2

=0，解得b=

2

3

，则c=

1

3

，此时抛物线解析式为y=-x²+

2

3

x+

1

3

；
当c=-

b

2

时，y=-x²+bx-

b

2

，把A（1，0）代入得-1+b-

b

2

=0，解得b=2，则c=-1，此时抛物线解析式为y=-x²+2x-1，
∴函数解析式为y=-x²+

2

3

x+

1

3

或y=-x²+2x-1．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．