Question

【题目】定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．

(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？

①正方形是自相似菱形；

②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．

③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．

(2)如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．

①求AE，DE的长；

②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)①AE=2，DE=4；②tan∠DBC=．

【解析】

（1）①证明△ABE≌△DCE（SAS），得出△ABE∽△DCE即可；

②连接AC，由自相似菱形的定义即可得出结论；

③由自相似菱形的性质即可得出结论；

（2）①由（1）③得△ABE∽△DEA，得出，求出AE＝2，DE＝4即可；

②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，则四边形DMEN是矩形，得出DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM＝1，EN＝DM＝5，由勾股定理得出DN＝EM＝＝，求出BN＝7，再由三角函数定义即可得出答案．

解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：

如图3所示：

∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，

∴AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠DCE=90°，

在△ABE和△DCE中

，

∴△ABE≌△DCE(SAS)，

∴△ABE∽△DCE，

∴正方形是自相似菱形，

故答案为：真命题；

②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：

如图4所示：

连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD，AD∥BC，AB∥CD，

∵∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形，∠DCE=120°，

∵点E是BC的中点，

∴AE⊥BC，

∴∠AEB=∠DAE=90°，

∴只能△AEB与△DAE相似，

∵AB∥CD，

∴只能∠B=∠AED，

若∠AED=∠B=60°，则∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°，

∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°，

∴∠CED=∠CDE，

∴CD=CE，不成立，

∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形，

故答案为：假命题；

③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，

则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：

∵∠ABC=α(0°＜α＜90°)，

∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C=180°，△ABE与△EDC不能相似，

同理△AED与△EDC也不能相似，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠AEB=∠DAE，

当∠AED=∠B时，△ABE∽△DEA，

∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，

则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，

故答案为：真命题；

(2)①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，

∴BE=2，AB=AD=4，

由(1)③得：△ABE∽△DEA，

∴

∴AE2=BEAD=2×4=8，

∴AE=2，DE===4，

故答案为：AE=2；DE=4；

②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：则四边形DMEN是矩形，

∴DN=EM，DM=EN，∠M=∠N=90°，

设AM=x，则EN=DM=x+4，

由勾股定理得：EM2=DE2﹣DM2=AE2﹣AM2，

即(4)2﹣(x+4)2=(2)2﹣x2，

解得：x=1，

∴AM=1，EN=DM=5，

∴DN=EM==，

在Rt△BDN中，

∵BN=BE+EN=2+5=7，

∴tan∠DBC=，

故答案为：．