Question

1．已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．且BE=CF．求证：平行四边形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，由AAS证明△BEO≌△CFO，得出对应边相等OB=OC，得出BD=AC，即可得出结论．

解答 证明：∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠OEB=∠OFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，
在△BEO和△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEB=∠OFC}&{\;}\\{∠BOE=∠COF}&{\;}\\{BE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEO≌△CFO（AAS），
∴OB=OC，
∴BD=AC，
∴平行四边形是矩形．

点评 本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定方法，证明三角形全等得出OB=OC是解决问题的关键