Question

20．已知抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点M（不与C重合），使得△MAB的面积和△CAB的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，设M（t，t²-2t-3），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•（3+1）•|t²-2t-3|=$\frac{1}{2}$•（3+1）•3，再分别解方程t²-2t-3=3或t²-2t-3=-3，求出t即可得到M点坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得a•1•（-3）=-3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3；
（2）存在．
设M（t，t²-2t-3），
根据题意得$\frac{1}{2}$•（3+1）•|t²-2t-3|=$\frac{1}{2}$•（3+1）•3，
当t²-2t-3=3时，解得t₁=1+$\sqrt{7}$，t₂=1-$\sqrt{7}$，此时M点坐标为（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3），
当t²-2t-3=-3时，解得t₁=0（舍去），t₂=2，此时M点坐标为（2，-3），
综上所述，满足条件的M点坐标为（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）或（2，-3）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．