Question

如图，抛物线y=x²-2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B，C是抛物线上一点，且点C的横坐标为1，．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若D是抛物线上一点，直线BD经过第一、二、四象限，且原点O到直线BD的距离为，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点C作CE⊥x轴于点E，如图，
∵抛物线上一点C的横坐标为1，
∴C（1，n-2m+2），
其中n-2m+2＞0，OE=1，CE=n-2m+2；
∵抛物线的顶点A在x轴负半轴上，
∴A（m，0），△=4m²-4（n+1）=0，得n=m²-1①，
其中m＜0，OA=-m，AE=OE+OA=1-m，
在Rt△ACE中，AC=3，
∵AE²+CE²=AC²，
∴（1-m）²+（n-2m+2）²=（3）²②，
把①代入②得[（m-1）²]²+（m-1）²-90=0，
∴[（m-1）²+10][（m-1）²-9]=0，
∴（m-1）²-9=0
∴m₁=4，m₂=-2，
∵m＜0，
∴m=-2．
把m=-2代入①，得n=4-1=3，
∴抛物线的关系式为y=x²+4x+4；
（2）设直线DB交x轴正半轴于点F，过点O作OM⊥DB于点M，如图，
∵点O到直线DB的距离为，
∴OM=，
而B点坐标为（0，4），
∴OB=4，
∴BM==；
∵OB⊥OF，OM⊥BF，
∴△OBM∽△FOM，
∴=，即=，
∴OF=8，
∴F点坐标为（8，0），
设直线DB的解析式为y=kx+b，
把F（8，0）、B（0，4）代入得，解得，
∴直线DB的解析式为y=-x+4，
解方程组得或，
∴D点坐标为（-，）；
（3）存在．理由如下：
∵OB=4，OF=8，
∴BF==4，
∵y=（x+2）²，
∴A点坐标为（-2，0），
∴OA=2，
而OB=4，
∴AB==2
∴OA：OB=OB：OF，
∴△OAB∽△OBF，
∴∠AOB=∠OFB，
∴∠ABF=∠ABO+∠OBF=∠OFB+∠OBF=90°，
∴△ABF∽△AOB，
此时P₁在F点位置，符号要求，P₁点的坐标为（8，0）；
当△ABP₂∽△BOA时，
则BP₂：OA=AB：BO，即BP₂：2=2：4，
∴BP₂=，
过P₂作P₂H⊥x轴于H，如图，
∴OH：OF=BP₂：BF，即OH：8=：4，
∴OH=2，
把x=2代入y=-x+4得y=-×2+4=2，
∴P₂的坐标为（2，2）；
当△ABP₃∽△BOA时，同样得到BP₃=，
∴P₃A⊥OA，
∴P₃的横坐标为-2，
把x=-2代入y=-x+4得y=-×（-2）+4=5，
∴P₃的坐标为（-2，6）；
当△ABP₄∽△AOB时，
则BP₄：OB=AB：AO，即BP₄：4=2：2，
∴BP₄=4，
过P₄作P₄Q⊥y轴于Q，如图，
易证得△P₄QB≌△FOB，
∴P₄Q=8，
把x=-8代入y=-x+4得y=-×（-8）+4=8，
∴P₄的坐标为（-8，8），
∴满足条件的P点坐标为（-8，8）、（-2，5）、（2，2）、（8，0）．
分析：（1）欲求抛物线的解析式，需求出m、n的值，根据抛物线的解析式，易得顶点A的坐标，然后将x=1代入抛物线的解析式中，可得点C的坐标，即可根据AC的长利用勾股定理得到第一个关于m、n的等量关系式；由于抛物线的顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点，即根的判别式△=0，联立两个关于m、n的式子即可求出m、n的值，从而得到该抛物线的解析式；
（2）根据（1）的抛物线解析式可求得点B的坐标，即可得到OB的长；过O作OM⊥BD于M，根据题意可知OM=，进而可利用勾股定理求得BM的长；在△EOF中，OM⊥EF，易证得△OBM∽△FOM，根据相似三角形所得比例线段即可求得OF的长，也就得到了F点的坐标，进而可利用待定系数法求得直线BD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点D的坐标．
（3）存在．利用△ABF∽△AOB、△ABP₂∽△BOA、△ABP₃∽△BOA、△ABP₄∽△AOB可分别确定P₁、P₂、P₃、P₄的坐标．
点评：此题是二次函数的综合题，涉及到勾股定理、根的判别式、二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法等重要知识，综合性强，难度较大．