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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、D两点,与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(0,4),已知点E(m,0)是线段DO上的动点,过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)当点P在直线BC上方时,请用含m的代数式表示PG的长度;

(3)在(2)的条件下,是否存在这样的点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似?若存在,求出此时m的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2x+4;(2)PG=﹣m2m+4﹣4=﹣m2m(﹣2<m<0);(3)在(2)的条件下,存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似,此时m的值为﹣1或﹣

【解析】试题分析:(1)设交点式y=a(x﹣1)(x+3),然后把B点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式;

(2)先解方程﹣x2x+4=4,解得x1=0,x2=﹣2,则﹣2<m<0,设P(m,﹣ m2m+4),G(m,4),则可用m表示PG;

(3)易得△DEH∽△DOB,则判定△PGB与△BOD,由于∠PGB=∠DOB,根据相似三角形的判定方法,当 时,△PGB∽△BOD,则△PGB∽△HED,当时,△PGB∽△DOB,则△PGB∽△DEH,然后分别利用相似比列关于m的方程,再解方程求出m,从而得到满足条件的m的值.

试题解析:(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣1)(x+3),

把B(0,4)代入得a(﹣1)3=4,解得a=﹣

所以抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)(x+3),

即y=﹣x2x+4;

(2)当y=4时,﹣ x2x+4=4,解得x1=0,x2=﹣2,

∴﹣2<m<0,

∵E(m,0),PE⊥x轴,

∴P(m,﹣ m2m+4),

而BC∥x轴,

∴G(m,4),

∴PG=﹣m2m+4﹣4=﹣m2m(﹣2<m<0);

(3)∵HE∥OB,

∴△DEH∽△DOB,

∵∠PGB=∠DOB,

∴当时,△PGB∽△BOD,则△PGB∽△HED,

,整理得m2+m=0,解得m1=0(舍去),m2=﹣1,

时,△PGB∽△DOB,则△PGB∽△DEH,

,整理得16m2+23m=0,解得m1=0(舍去),m2=﹣

综上所述,在(2)的条件下,存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似,此时m的值为﹣1或﹣

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