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【题目】求证:对角线互相垂直圆内接四边形,自对角线的交点向一边作垂线,其延长线必平分对边.

要求:(1)在给出的圆内接四边形作出PEBC于点E,并延长EPAD交于点F,不写作法,保留作图痕迹

2)利用(1)中所作的图形写出已知、求证和证明过程.

【答案】1)见解析;(2DF=FP=AF,点FAD的中点,过程见解析

【解析】

1)过PBC的垂线即可得到答案;(2)根据题意写好已知,求证,利用圆周角定理及直角三角形的性质证明

解:(1)补全的图形如图所示;

2)已知:四边形ABCD为圆内接四边形,ACBDPEBC.延长EPAD于点F

求证:点FAD的中点

证明:∵ACBDPEBC

∴∠CPD=CEF=APD=90°

EF是线段

∴∠CPE+CPD+DPF=180°,即∠CPE+DPF=90°

∵在RtCEP中,∠CPE+ECP=90°

∴∠ECP=DPF

∵∠ACB与∠ADB为同弧所对的圆周角

∴∠ACB=ADB,即∠ECP=PDF

∴∠DPF=PDF

∴△DPF为等腰三角形,DF=FP

∵∠APF=APD -DPF=90°-DPF,∠PAF=90°-PDF

∴∠APF=PAF

∴△APF为等腰三角形,PF=AF

DF=FP=AF,点FAD的中点.

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