Question

已知命题：“P是等边三角形ABC内的一点，若P到三边的距离相等，则PA=PB=PC．”证明这个命题，并写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明．

Answer 1

              解：如图，已知P是等边三角形ABC内的一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD=PE=PF．求证：PA=PB=PC．

证明：∵PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PD=PE，

∴BP平分∠ABC，

∵BA=BC，

∴BP是AC的垂直平分线，

同理，AP是BC的垂直平分线，CP是AB的垂直平分线，

∴P是△ABC三边垂直平分线的交点，

∴PA=PB=PC．

逆命题：P是等边三角形ABC内的一点，若PA=PB=PC，则P到三边的距离相等．其逆命题成立．

证明：∵PA=PB，

∴P在AB的垂直平分线上，

∵AC=BC，

∴C在AB的垂直平分线上，

∴CP是AB的垂直平分线，

∴CP平分∠ACB，

同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，

∴P是△ABC三个角的角平分线的交点，

∴PD=PE=PF．