Question

【题目】已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E. F,垂足为O.

(1)如图1，连接AF、CE.求证：四边形AFCE为菱形.

(2)如图1，求AF的长.

(3)如图2，动点P、Q分别从A. C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周。即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止。在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒.

①问在运动的过程中，以A. P、C. Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗?若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由.

②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A. P、C. Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AF=5cm；（3）①P点运动的时间是 8，Q的速度是0.5cm/s；②t=.

【解析】

（1）证△AEO≌△CFO，推出OE=OF，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；

（2）设AF=CF=a，根据勾股定理得出关于a的方程，求出即可；

（3）①只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t，即可求出答案；②分为三种情况，P在AF上，P在BF上，P在AB上，根据平行四边形的性质求出即可．

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEO=∠CFO，

∵AC的垂直平分线EF，

∴AO=OC，AC⊥EF，

在△AEO和△CFO中

∵ ，

∴△AEO≌△CFO(AAS)，

∴OE=OF，

∵OA=OC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴平行四边形AECF是菱形；

(2)设AF=acm，

∵四边形AECF是菱形，

∴AF=CF=acm，

∵BC=8cm，

∴BF=(8a)cm，

在Rt△ABF中,由勾股定理得：4 +(8a) =a，

a=5，

即AF=5cm；

(3)①在运动过程中，以A. P、C. Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，

只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A. P、C. Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，

P点运动的时间是：(5+3)÷1=8，

Q的速度是：4÷8=0.5，

即Q的速度是0.5cm/s；

②分为三种情况：

第一、P在AF上，

∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，

∴Q只能再CD上，此时当A. P、C. Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；

第二、当P在BF上时,Q在CD或DE上,只有当Q在DE上时,当A. P、C. Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形,如图,

∵AQ=8(0.8t4),CP=5+(t5)，

∴8(0.8t4)=5+(t5)，

t=，

第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A. P、C. Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；

即t=.

综上所述：当A. P、C. Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=.