Question

【题目】如图1，点为线段延长线上的一点，点是的中点，且点不与点重合，，设．

①若，如图2，则 ；

②用含的代数式表示的长，直接写出答案； ， ；

若点为线段上一点，且，你能说明点是线段的中点吗？

Answer 1

【答案】（1）①1；②；（2）E为BC的中点，详情见解析；

【解析】

（1）①先求出AC=AB+BC，因为D是AC中点，可求AD，最后由BD=AB-AD进行计算即可；②分类讨论，当点D在AB之间，因为AC=AB+BC=8+x，D是AC中点，所以，所以；当D和B点重合，所以B是AC中点，可得 ，；当D在AB之外，因为，D是AC中点，所以，所以；结合三种情况可得 ；

（2）分类讨论①当x＜8，D在AB上，②当x=8时，AB=BC=8，③当x>8时，D在BC上，由（1）可知，CD＝4+x，所以CE＝CD-DE＝(4+x)-4＝x，所以CE＝BC，所以E为BC的中点；

解：

（1）①若x=6，则AC=AB+BC=14，

∴D是AC中点，

∴，

∴，

故答案为：1；

②当x<8时，D在AB上，如图，

∵AC=AB+BC=8+x，

又∵D是AC中点，

∴，

∴，

当x=8时，AB=BC=8，如图，

∴B是AC中点，

∴此时B、D重合，

∴ ，，

当x>8时，D在BC上，如图，

∵，

又因为D是AC中点，

∴，

∴，

故 ；

（2）①当x＜8，D在AB上，如图，

由（1）可知，CD＝4+x，

∴CE＝CD-DE＝(4+x)-4＝x，

∴CE＝BC，

∴E为BC的中点；

②当x=8时，AB=BC=8，如图，

由（1）可知，CD＝4+x，

∴CE＝CD-DE＝(4+x)-4＝x，

∴CE＝BC，

∴E为BC的中点；

③当x>8时，D在BC上，如图，

由（1）可知，CD＝4+x，

∴CE＝CD-DE＝(4+x)-4＝x，

∴CE＝BC，

∴E为BC的中点；

综上所述，E为BC的中点；