Question

17．如图，抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（-1，0），且tan∠ABC=$\frac{2}{3}$
（1）求抛物线的解折式．
（2）在直线BC下方抛物线上一点P，当四边形OCPB的面积取得最大值时，求这个最大值，并求此时点P的坐标．
（3）在y轴的左侧抛物线上有一点M，满足∠MBA=∠ABC，若点N是直线BC上一点，当△MNB为等腰三角形时，求点N的坐标．
 

Answer 1

分析 （1）由解析式求得C的坐标，然后根据tan∠ABC=$\frac{2}{3}$求得OB=3，从而求得B的坐标，进而根据待定系数法即可求得解析式；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x²-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x-3），再根据S_{四边形OBPC}=S_△OBC+S_△BPQ+S_△CPQ即可得出结论．
（3）根据题意求得M的坐标，然后分三种情况讨论求得即可．

解答 解：（1）由抛物线y=ax²+bx-2可知C的坐标为（0，-2），
∴OC=2，
∵tan∠ABC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{2}{3}$
∴OB=3，
∴B（3，0），
∵A（-1，0），
把A、B的坐标代入y=ax²+bx-2得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{9a+3b-2=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解折式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，
设P（x，$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-2．
∴Q点的坐标为（x，$\frac{2}{3}$x-2），
∴S_{四边形OBPC}=S_△OBC+S_△BPQ+S_△CPQ
=$\frac{1}{2}$OB•OC+$\frac{1}{2}$QP•OE+$\frac{1}{2}$QP•EB
=$\frac{1}{2}$×3×2+$\frac{1}{2}$（2x-$\frac{2}{3}$x²）×3
=-x²+3x+3
=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为$\frac{3}{4}$．此时P点的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
（3）设直线AM交y轴于D，
∵∠MBA=∠ABC，
∴OD=OC=2，
∴D（0，2），
设直线AM的解析式为y=mx+2，
代入B（3，0）得0=3m+2，解得m=-$\frac{2}{3}$，
∴直线AM的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{3}x+2}\\{y=\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{4}{3}x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴M（-2，$\frac{10}{3}$），
设N（x，$\frac{2}{3}$x-2），
∵BM²=（3+2）²+（$\frac{10}{3}$）²，MN²=（x+2）²+（$\frac{2}{3}$x-2-$\frac{10}{3}$）²，BN²=（x-3）²+（$\frac{2}{3}$x-2）²，
当MB=BN时，N（-2，-$\frac{10}{3}$）或（8，$\frac{10}{3}$）；
当MB=MN时，则（3+2）²+（$\frac{10}{3}$）²=（x+2）²+（$\frac{2}{3}$x-2-$\frac{10}{3}$）²，
整理得13x²-28x-33=0，
解得x₁=3，x₂=-$\frac{11}{13}$，
∴N（-$\frac{11}{13}$，-$\frac{100}{39}$）；
当BN=MN时，（x+2）²+（$\frac{2}{3}$x-2-$\frac{10}{3}$）²=（x-3）²+（$\frac{2}{3}$x-2）²，
整理得10x=-35，
解得x=-$\frac{7}{2}$
∴N（-$\frac{7}{2}$，-$\frac{13}{3}$）；
综上，点N的坐标为（-2，-$\frac{10}{3}$）或（8，$\frac{10}{3}$）或（-$\frac{11}{13}$，-$\frac{100}{39}$）或（-$\frac{7}{2}$，-$\frac{13}{3}$）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，难度适中．本题考查了二次函数综合题型．其中涉及到了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意，对于动点问题，需要分类讨论