Question

【题目】（1）如图1，已知AB⊥l，DE⊥l，垂足分别为B、E，且C是l上一点，∠ACD＝90°，求证：△ABC∽△CED；

（2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）先证明∠BAC＝∠DCE，根据相似三角形的判定△ABC∽△CED即可；

（2）利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．

证明：（1）∵AB⊥l，DE⊥l，

∴∠ABC＝∠CED＝90°，∠ACB+∠BAC＝90°，

∵∠ACD＝90°，

∴∠ACB+∠DCE＝90°，

∴∠BAC＝∠DCE，

∴△ABC∽△CED；

（2）如图，连接AC，

∵∠ABC＝90°，

∴ ，

∵AD＝ ，CD＝10，

∴△ACD满足AC2+CD2＝AD2，

∴∠ACD＝90°，

如图，过点D作DE⊥BC延长线于点E，

由（1）得此时△ABC∽△CED，

∴ ，

∴CE＝6，DE＝8，

在Rt△BDE中，BD＝．