Question

【题目】综合与探究

如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求出点N的坐标；

（3）如图2，当P为OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D．连接BD，将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m≤2），将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）点N的坐标是（+1，3）或（﹣+1，3）或（2，﹣3）；（3）S＝﹣m2+m+．

【解析】

（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；

（2）由抛物线解析式求得点C的坐标，即OC＝3，所以由三角形的面积公式得到点N到x轴的距离为3，据此列出方程并解答；

（3）如图2，由已知得，QB＝m，PQ＝2，利用待定系数法确定直线BC的表达式为y＝x﹣3．根据二次函数图象上点的坐标特征和坐标与图形的性质求得D（2，﹣3），所以直线CD∥x轴．由此求得EM的长度；过点F作FH⊥PM于点M，构造相似三角形：△MHF∽△MPQ和△CMF∽△BQF，根据相似三角形的对应边成比例推知＝．设MF＝k（2﹣m），QF＝km，由三角形的面积公式和图形得到：S＝S△PQM﹣S△EMF＝3﹣（﹣m+）（2﹣m）＝﹣m2+m+．

解：（1）如图1，把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得

，

解得，

所以该抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3；

（2）将x＝0代入y＝x2﹣x﹣3，得y＝﹣3，

∴点C的坐标为（0，﹣3），

∴OC＝3．

设N（x，y），

∵S△NAB＝S△CAB，

∴|y|＝OC＝3，

∴y＝±3．

当y＝3时，x2﹣x﹣3＝3，

解得x＝+1．

当y＝﹣3时，x2﹣x﹣3＝﹣3，

解得x1＝2，x2＝0（舍去）．

综上所述，点N的坐标是（+1，3）或（﹣+1，3）或（2，﹣3）；

（3）如图2，由已知得，QB＝m，PQ＝2，

设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0）．

∵直线y＝kx+b经过点B（4，0），C（0，﹣3），

∴，

解得，

∴直线BC的表达式为y＝x﹣3．

当0＜m≤2时，由已知得PB＝2+m．

∵OP＝2﹣m，

∴E（2﹣m，﹣m﹣）．

由OB＝4得OP＝2，

把x＝2代入y＝x2﹣x﹣3中，得y＝﹣3，

∴D（2，﹣3），

∴直线CD∥x轴．

∵EP＝m+，MP＝3，

∴EM＝MP﹣EP＝3﹣m﹣＝﹣m+．

过点F作FH⊥PM于点M，则∠MHF＝∠MPQ＝90°．

∵∠HMF＝∠PMQ，

∴△MHF∽△MPQ，

∴＝．

∵∠FCM＝∠FBQ，∠FMC＝∠FQB，

∴△CMF∽△BQF，

∴＝．

∵CD＝2，

∴CM＝2﹣m，

∴＝．

设MF＝k（2﹣m），QF＝km，

∴MQ＝2k，

∴＝．

∴＝．

∵PQ＝2，

∴HF＝2﹣m．

∴S△EMF＝EMHF＝（﹣m+）（2﹣m）．

∵S△PQM＝PQPM＝×3×2＝3，

∴S＝S△PQM﹣S△EMF＝3﹣（﹣m+）（2﹣m）＝﹣ m2+ m+ ．