Question

【题目】如图，CE是ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3；以上四个结论中所有正确的结论是（　　）

A.①②B.①②③C.②④D.①②④

Answer 1

【答案】D

【解析】

先证明△AOE∽△DCE，得到＝＝＝，得到OE＝OC，从而证明四边形ACBE是平行四边形，再根据AB⊥EC，证明四边形ACBE是菱形，判断①选项；根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得到AC＝AD＝AE，从而判断②选项；根据OA∥CD，得到＝＝，从而求出AF：BE，判断③选项；设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积＝△AOE的面积＝3a，从而写出S四边形AFOE：S△COD，判断④选项.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵EC垂直平分AB，

∴OA＝OB＝AB＝DC，CD⊥CE，

∵OA∥DC，

∴△AOE∽△DCE，

∴＝＝＝，

∴AE＝AD，OE＝OC，

∵OA＝OB，OE＝OC，

∴四边形ACBE是平行四边形，

∵AB⊥EC，

∴四边形ACBE是菱形，故①正确，

∵∠DCE＝90°，DA＝AE，

∴AC＝AD＝AE，

∴∠ACD＝∠ADC＝∠BAE，故②正确，

∵OA∥CD，

∴＝＝，

∴＝＝，故③错误，

设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积＝△AOE的面积＝3a，

∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a

∴S四边形AFOE：S△COD＝2：3．故④正确，

故选：D．