Question

【题目】如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D(5，－2)，连接BC、AD．

(1)将矩形OBHC绕点B按逆时针旋转90°后，再沿轴对折到矩形GBFE(点C与点E对应，点O与点G对应)，求点E的坐标；

(2)设过点E的直线交AB于点P，交CD于点Q．

①当四边形PQCB为平行四边形时，求点P的坐标；

②是否存在点P，使直线PQ分梯形ADCB的面积为1∶3两部分？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）E(3,1)；（2）①P(，0)；②存在，(，0)或(，0)

【解析】

（1）由于旋转翻折只是图形的位置有变化，而大小不变,因此：△BCH≌△BEF，OC=BF，

CH=EF，OC的长可以通过C点的坐标得出，求CH即OB的长，要先得出B点的坐标，可通过抛物线的解析式来求得，这样可得出E点的坐标，然后代入抛物线的解析式即可判断出E是否在抛物线上；

（2）①设P（m，0），根据四边形PQCB为平行四边形，BP∥CQ，得到BC//PQ，故可得出△EFP∽△BHC，所以，从而得，解得m的值后即可求得点P的坐；

②可先设出P点的坐标如：（n，0），由于直线PQ过E点，因此可根据P，E的坐标用待定系数法表示出直线PQ的解析式，进而可求出Q点的坐标，这样就能表示出BP，AP，CQ，DQ的长，也就能表示出梯形BPQC和梯形APQD的面积，然后分类进行讨论：梯形BPQC的面积：梯形APQD的面积=1：3，梯形APQD的面积：梯形BPQC的面积=1：3，根据上述两种不同的比例关系式，可求出各自的n的取值，也就能求出不同的P点的坐标，综上所述可求出符合条件的P点的坐标．

解：（1）令y=0，得，

解得x1=1，x2=4，

∴A(4，0)，B(1，0)，

∴OA=4，OB=1，

由矩形的性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，

由旋转、对折性质可知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，

∴E（3，1）；

（2）①设P(m，0)，

∵四边形PQCB为平行四边形，BP∥CQ，

∴BC∥PQ，

∴，

∴，

解得：，

∴P(，0)；

②存在；

设点P(n，0)，延长EF交CD于点R，

易得OF=CR=3，PB=n－1．

∵S梯形BCRF=5，S梯形ADRF=3，记S梯形BCQP=S1，S梯形ADQP=S2，

下面分两种情况：

第一种情况，当S1：S2=1：3时，＜5，

∴此时点P在点F(3,0)的左侧，则PF=3－n，

由△EPF∽△EQR，得，

则QR=9－3n，

∴CQ=3n－6，由S1=2，得,

解得；

∴点P的坐标为(，0)，

第二种情况，当S1：S2=3：1时，＞5，

∴此时点P在点F(3,0)的右侧，则PF=n－3，

由△EPF∽△EQR，得QR=3n－9，

∴CQ=3n－6，由S1=6，得，

解得，

∴点P的坐标为(，0)

综上所述，所求点P的坐标为(，0)或(，0)．