Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC．BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB=．OE=2，求线段CE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）先根据题意得出∠OAB=∠DCA，然后进一步证明出∠DCA=∠DAC，得出CD=AD=AB，然后接着进一步证明即可；

（2）先根据题意得出OE=OA=OC=2，再进一步得出OB=1，通过证明△AOB∽△AEC然后利用相似三角形性质进一步求解即可.

（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠OAB=∠DCA，

∵AC为∠DAB的平分线，

∴∠OAB=∠DAC，

∴∠DCA=∠DAC，

∴CD=AD=AB，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AD=AB，

∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC，BD⊥AC．

∵CE⊥AB，

∴OE=OA=OC=2，

∴OB==1，AC=OA+OC=4，

∵∠AOB=∠AEC=90°，∠OAB=∠EAC，

∴△AOB∽△AEC，

∴，

∴=，

∴CE=．