Question

【题目】问题背景:

如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.

（1）实践运用：

如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 ．

（2）知识拓展：

如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

Answer 1

【答案】解：（1）；（2）

【解析】

（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；

（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．

（1）如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于AE．

作直径AC′，连接C′E，根据垂径定理得弧BD=弧DE．

∵∠ACD=30°，

∴∠AOD=60°，∠DOE=30°

．∴∠AOE=90°．

∴∠C′AE=45°．

又AC为圆的直径，

∴∠AEC′=90°．

∴∠C′=∠C′AE=45°．

∴C′E=AE=AC′=．

∴AP+BP的最小值是．

（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．

∵AD平分∠BAC，

∴点B与点B′关于直线AD对称．

过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．

则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．

在Rt△AFB/中，

∵∠BAC=450, AB/=AB= 10，

∴．

∴BE+EF的最小值为