Question

4．如图，直线CD⊥弦AB，∠1=∠2
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若DE=8，CE=2，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA．欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可．
（2）根据已知条件求得OE=3，然后根据射影定理求得OP，进而即可求得PC的长．

解答 证明：（1）连接OA．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC；
又∵CD⊥弦AB，
∴∠OCA+∠1=90°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠CAO=90°（等量代换），
∴OA⊥AP，
∵A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线．
（2）∵DE=8，CE=2，
∴DC=10，
∴OD=OC=OA=5，
∴OE=3，
在RT△AOP中，AE⊥OP，
∴AO²=OE•PO，
∴PO=$\frac{O{A}^{2}}{OE}$=$\frac{25}{3}$，
∵PC=PO-OC=$\frac{25}{3}$-5=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了射影定理．