Question

16．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD+∠AEM=90°；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD-∠AEM=90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，即可得出结果；
（2）由平行线的性质得出∠PFD+∠1=180°，再由角的互余关系即可得出结果；
（3）由角的互余关系求出∠PHE，再由平行线的性质得出∠PFC的度数，然后由三角形的外角性质即可得出结论．

解答 解：（1）作PG∥AB，如图①所示：
则PG∥CD，
∴∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，
∵∠1+∠2=∠P=90°，
∴∠PFD+∠AEM=∠1+∠2=90°，
故答案为：∠PFD+∠AEM=90°；
（2）证明：如图②所示：
∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHF=180°，
∵∠P=90°，
∴∠BHF+∠2=90°，
∵∠2=∠AEM，
∴∠BHF=∠PHE=90°-∠AEM，
∴∠PFD+90°-∠AEM=180°，
∴∠PFD-∠AEM=90°；
（3）如图③所示：
∵∠P=90°，
∴∠PHE=90°-∠FEB=90°-15°=75°，
∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠PHE=75°，
∵∠PFC=∠N+∠DON，
∴∠N=75°-30°=45°．

点评 本题考查了平行线的性质、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键．