Question

19．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接AE，若AB=6cm，BC=$\sqrt{5}$cm．
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．

Answer 1

分析 （1）只要证明四边相等即可证明；
（2）①设AE交CD于K．由DE∥AC，DE=OC=OA，推出$\frac{DK}{KC}$=$\frac{DE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，由AB=CD=6，可得DK=2，CK=4，在Rt△ADK中，AK=$\sqrt{A{D}^{2}+D{K}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+{2}^{2}}$=3，根据sin∠DAE=$\frac{DK}{AK}$计算即可解决问题；
②作PF⊥AD于F．易知PF=AP•sin∠DAE=$\frac{2}{3}$AP，因为点Q的运动时间t=$\frac{OP}{1}$+$\frac{AP}{\frac{3}{2}}$=OP+$\frac{2}{3}$AP=OP+PF，所以当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴OD=OB=OC=OA，
∵△EDC和△ODC关于CD对称，
∴DE=DO，CE=CO，
∴DE=EC=CO=OD，
∴四边形CODE是菱形．

（2）①设AE交CD于K．
∵四边形CODE是菱形，
∴DE∥AC，DE=OC=OA，
∴$\frac{DK}{KC}$=$\frac{DE}{AC}$=$\frac{1}{2}$
∵AB=CD=6，
∴DK=2，CK=4，
在Rt△ADK中，AK=$\sqrt{A{D}^{2}+D{K}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+{2}^{2}}$=3，
∴sin∠DAE=$\frac{DK}{AK}$=$\frac{2}{3}$，

②作PF⊥AD于F．易知PF=AP•sin∠DAE=$\frac{2}{3}$AP，
∵点Q的运动时间t=$\frac{OP}{1}$+$\frac{AP}{\frac{3}{2}}$=OP+$\frac{2}{3}$AP=OP+PF，
∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$CD=3．AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，PF=$\frac{1}{2}$DK=1，
∴AP=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为$\frac{3}{2}$，点Q走完全程所需的时间为3s．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，所以中考压轴题．