Question

10．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．

Answer 1

分析 （1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；
（2）由（1）得：$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，即可得出△ABC外接圆的半径．

解答 （1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴CD=BD=4，
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴△ABC外接圆的半径=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．