定义:点P是△ABC内部或边上的点.在△PAB.△PBC.△PCA中.若至少有一个三角形与△ABC相似.则称点P是△ABC的自相似点．例如:如图1.点P在△ABC的内部.∠PBC=∠A.∠BCP=∠ABC.则△BCP∽△ABC.故点P是△ABC的自相似点．请你运用所学知识.结合上述材料.解决下列问题:在平面直角坐标系中.点M是曲线y=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线y=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．
（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（$\sqrt{3}$，3），点N的坐标是（$\sqrt{3}$，0）时，求点P的坐标；
（2）如图3，当点M的坐标是（3，$\sqrt{3}$），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；
（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）由∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，得出△NOP∽△MON，证出点P是△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD=$\frac{MN}{ON}=\sqrt{3}$，求出∠AON=60°，由点M和N的坐标得出∠MNO=90°，由相似三角形的性质得出∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，由三角函数求出OP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，PD=$\frac{3}{4}$，即可得出答案；
（2）作MH⊥x轴于H，由勾股定理求出OM=2$\sqrt{3}$，直线OM的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，ON=2，∠MOH=30°，分两种情况：①作PQ⊥x轴于Q，由相似点的性质得出PO=PN，OQ=$\frac{1}{2}$ON=1，求出P的纵坐标即可；
②求出MN=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，由相似三角形的性质得出$\frac{PN}{ON}=\frac{MN}{MO}$，求出PN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，在求出P的横坐标即可；
（3）证出OM=2$\sqrt{3}$=ON，∠MON=60°，得出△MON是等边三角形，由点P在△MON的内部，得出∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，即可得出结论．

解答解：（1）∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，
∴△NOP∽△MON，
∴点P是△MON的自相似点；
过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD=$\frac{MN}{ON}=\sqrt{3}$，
∴∠AON=60°，
∵当点M的坐标是（$\sqrt{3}$，3），点N的坐标是（$\sqrt{3}$，0），
∴∠MNO=90°，
∵△NOP∽△MON，
∴∠NPO=∠MNO=90°，
在Rt△OPN中，OP=ONcos60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OD=OPcos60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，PD=OP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴P（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$）；
（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：
∵点M的坐标是（3，$\sqrt{3}$），点N的坐标是（2，0），
∴OM=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，直线OM的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，ON=2，∠MOH=30°，
分两种情况：
①如图3所示：∵P是△MON的相似点，
∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，
∴PO=PN，OQ=$\frac{1}{2}$ON=1，
∵P的横坐标为1，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴P（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
②如图4所示：
由勾股定理得：MN=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，
∵P是△MON的相似点，
∴△PNM∽△NOM，
∴$\frac{PN}{ON}=\frac{MN}{MO}$，即$\frac{PN}{2}=\frac{2}{2\sqrt{3}}$，
解得：PN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即P的纵坐标为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$得：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
解得：x=2，
∴P（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（$\sqrt{3}$，3），N（2$\sqrt{3}$，0）；理由如下：
∵M（$\sqrt{3}$，3），N（2$\sqrt{3}$，0），
∴OM=2$\sqrt{3}$=ON，∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形，
∵点P在△MON的内部，
∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，
∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．

点评本题是反比例函数综合题目，考查了相似三角形的性质、相似点的判定与性质、三角函数、坐标与图形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、直线解析式的确定等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握相似点的判定与性质是解决问题的关键．

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