Question

3．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{a}{x}$的图象在第一象限交于A、B两点，B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC=CA．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴交BD于E，
∵点B（3，2）在反比例函数y=$\frac{a}{x}$的图象上，
∴a=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{6}{x}$，
∵B（3，2），
∴EF=2，
∵BD⊥y轴，OC=CA，
∴AE=EF=$\frac{1}{2}$AF，
∴AF=4，
∴点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y=$\frac{6}{x}$图象上，
∴A（$\frac{3}{2}$，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=2}\\{\frac{3}{2}k+b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=-$\frac{4}{3}$x+6；
（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，
∵B（3，2），
∴直线OB的解析式为y=$\frac{2}{3}$x，
∴G（$\frac{3}{2}$，1），
A（$\frac{3}{2}$，4），
∴AG=4-1=3，
∴S_△AOB=S_△AOG+S_△ABG=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$．

点评 此题主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，三角形的中位线，解本题的关键是用待定系数法求出直线AB的解析式．