Question

7．如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接，根据BE平分∠OBC，OE=OB，可得出OE∥BC，从而可知∠AEO=∠C=90°，根据切线的判定，即可得出AC是⊙O的切线；
（2）连接OF，根据条件分别求出OE、CF、CE，∠EOF的数值后，根据面积公式分别计算梯形OFCE与扇形EOF的面积，从而可求出阴影部分的面积．

解答 解：（1）连接OC，
∴BE是∠OBC的角平分线，
∴∠OBE=∠CBE，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；

（2）连接OF，
∵cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠A=30°，
∴∠ABC=∠AOE=60°
∵OB=OF=3，
∴∠FOB=∠ABC=60°，
∴∠EOF=60°，
∴扇形OEF的面积为：$\frac{60π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{3π}{2}$，
∵OE=3，∠BAC=30°，
∴AO=2OE=6，
∴AB=AO+OB=9，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{9}{2}$
∴由勾股定理可知：AE=3$\sqrt{3}$，AC=$\frac{9}{2}\sqrt{3}$，
∴CE=AC-AE=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∵BF=OB=3，
∴CF=BC-BF=$\frac{3}{2}$
∴梯形OFCE的面积为：$\frac{（CF+OE）CE}{2}$=$\frac{27\sqrt{3}}{8}$，
∴阴影部分面积为：$\frac{27\sqrt{3}}{8}$-$\frac{3π}{2}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，勾股定理，平行线的判定，切线的判定，扇形面积公式等知识，综合程度较高，属于中等题型．