Question

20．如图，在平面直角坐标系中，已知A（-2，0），C（0，4），点O′为x轴上一点，⊙O′过A，C两点交x轴于另一点B．
（1）求点O′的坐标；
（2）已知抛物线y=ax²+bx+c过A，B，C三点，且与⊙O′交于另一点E，求抛物线的解析式，并直接写出点E 坐标；
（3）设点P（t，0）是线段OB上一个动点，过点P作直线l⊥x轴，交线段BC于F，交抛物线y=ax²+bx+c于点G，请用t表示四边形BPCG的面积S；
（4）在（3）的条件下，四边形BPCG能否为平行四边形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接CO′，设⊙O′的半径为R．在Rt△OCO′中，根据OC²+OO²=CO′²，可得4²+（R-2）²=R²，解方程求出R即可解决问题；
（2）把A（-2，0），C（0，4），B（8，0）代入抛物线的解析式即可解决问题；
（3）根据S_{四边形BPCG}=$\frac{1}{2}$•PG•（B_x-C_x），假设即可解决问题；
（4）不可能是平行四边形．假设CG∥BP，此时G与E重合，CE=OP=6，BP=OB-OP=2，推出CE≠BP，可知四边形BPCG不可能是平行四边形；

解答 解：（1）如图1中，连接CO′，设⊙O′的半径为R．
在Rt△OCO′中，∵OC²+OO²=CO′²，
∴4²+（R-2）²=R²，
∴R=5，
∴OO′=5-2=3，
∴O′（3，0）．

（2）∵A（-2，0），C（0，4），B（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{64a+8b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4．
易知E、C关于对称轴对称，
∴点E的纵坐标为4，
∴E（6，4）．

（3）由题意G（t，-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4），
∴S_{四边形BPCG}=$\frac{1}{2}$•PG•（B_x-C_x）=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4）•8=-t²+6t+16（0＜t＜8）．

（4）不可能是平行四边形．
理由：假设CG∥BP，此时G与E重合，CE=OP=6，BP=OB-OP=2，
∴CE≠BP，
∴四边形BPCG不可能是平行四边形．

点评 本题考查二次函数综合题、勾股定理、圆的有关性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题，学会用分割法求四边形的面积，属于中考压轴题．