Question

【题目】 已知：在正方形ABCD中，点H在对角线BD上运动（不与B，D重合）连接AH，过H点作HP⊥AH于H交直线CD于点P，作HQ⊥BD于H交直线CD于点Q．

（1）当点H在对角线BD上运动到图1位置时，则CQ与PD的数量关系是______．

（2）当H点运动到图2所示位置时

①依据题意补全图形．

②上述结论还成立吗？若成立，请证明．若不成立，请说明理由．

（3）若正方形边长为，∠PHD=30°，直接写出PC长．

Answer 1

【答案】（1）相等；（2）①见解析，②结论成立，见解析；（3）-1或+1

【解析】

（1）证△ADH≌△PQH得AD=PQ=CD，据此可得CQ=PD；

（2）①根据题意补全图形即可；②连接HC，先证△ADH≌△CDH得∠1=∠2，再证△CQH≌△PDH得出答案；

（3）分以上图1、图2中的两种情况，先求出∠DAP=∠PHD=30°，再由在Rt△ADP中AD=CD=得出PD=ADtan30°=1，从而得解．

解：（1）相等

∵∠AHP=∠DHQ=90°，

∴∠AHD=∠PHQ，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB=∠BDC=∠PQH=45°，AD=CD，

则DH=QH，

∴△ADH≌△PQH（ASA），

∴AD=PQ=CD，

∴CQ=PD，

故答案为：相等．

（2）①依题意补全如图所示，

②结论成立，证明如下：

证明：连接HC，

∵正方形ABCD，BD为对角线，

∴∠5=45°，

∵AD=CD、DH=DH，

∴△ADH≌△CDH（SAS），

∴∠1=∠2，

又∵QH⊥BD，∠5=45°，

∴∠4=45°，

∴∠4=∠5，

∴QH=HD，∠HQC=∠HDP=135°，

∵AH⊥HP，AD⊥DP，

∴∠AHP=∠ADP=90°，

又∵∠AOH=∠DOP，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴△CQH≌△PDH（AAS）

∴CQ=PD．

（3）如图2，连接AP，

由（1）知△ADH≌△PQH，

∴AH=PH，

∵∠AHP=90°，

∴∠APH=45°，

又∠ADH=45°，∠PHD=30°，

∴∠DAP=∠PHD=30°，

在Rt△ADP中，∵AD=CD=，

∴PD=ADtan30°=1，

则CP=CD-PD=-1；

如图3，连接AP，

同理可得PD=1，

则CP=+1，

综上，PC的长度为-1或+1．