【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC为⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.
(1)求∠CDE的度数;
(2)求证:DF是⊙O的切线;
(3)若AC=2 DE,求tan∠ABD的值.
【答案】
(1)
解:∵对角线AC为⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠EDC=90°
(2)
证明:连接DO,
∵∠EDC=90°,F是EC的中点,
∴DF=FC,
∴∠FDC=∠FCD,
∵OD=OC,
∴∠OCD=∠ODC,
∵∠OCF=90°,
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°,
∴DF是⊙O的切线;
(3)
解:如图所示:
可得∠ABD=∠ACD,
∵∠E+∠DCE=90°,∠DCA+∠DCE=90°,
∴∠DCA=∠E,
又∵∠ADC=∠CDE=90°,
∴△CDE∽△ADC,
∴ ,
∴DC2=ADDE
∵AC=2 DE,
∴设DE=x,则AC=2 x,
则AC2﹣AD2=ADDE,
期(2 x)2﹣AD2=ADx,
整理得:AD2+ADx﹣20x2=0,
解得:AD=4x或﹣4.5x(负数舍去),
则DC= =2x,
故tan∠ABD=tan∠ACD= =2.
【解析】(1)直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数;(2)直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°,进而得出答案;(3)利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD,DC的长,再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值.此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识,根据题意表示出AD,DC的长是解题关键.
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【题目】如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图.
(1)画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1;
(2)画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2;
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积.
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【题目】如图1,二次函数y=ax2+bx的图象过点A(﹣1,3),顶点B的横坐标为1.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)点P在该二次函数的图象上,点Q在x轴上,若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;
(3)如图3,一次函数y=kx(k>0)的图象与该二次函数的图象交于O、C两点,点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点,过点T作直线TM⊥OC,垂足为点M,且M在线段OC上(不与O、C重合),过点T作直线TN∥y轴交OC于点N.若在点T运动的过程中, 为常数,试确定k的值.
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【题目】某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.
(1)求该店有客房多少间?房客多少人?
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算?
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴最多有一个交点,现有以下四个结论:
①该抛物线的对称轴在y轴左侧;
②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;
③a﹣b+c≥0;
④ 的最小值为3.
其中,正确结论的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】一段笔直的公路AC长20千米,途中有一处休息点B,AB长15千米,甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发,甲以15千米/时的速度匀速跑至点B,原地休息半小时后,再以10千米/时的速度匀速跑至终点C;乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C,下列选项中,能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(小时)函数关系的图象是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】一袋中装有形状大小都相同的四个小球,每个小球上各标有一个数字,分别是1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球,对应的数字作为一个两位数的个位数;然后将小球放回袋中并搅拌均匀,再任取一个小球,对应的数字作为这个两位数的十位数.
(1)写出按上述规定得到所有可能的两位数;
(2)从这些两位数中任取一个,求其算术平方根大于4且小于7的概率.
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【题目】如图,直线y=2x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点B.点C是该直线上不同于B的点,且CA=AB.
(1)写出A、B两点坐标;
(2)过动点P(m,0)且垂直于x轴的直线与直线AB交于点D,若点D不在线段BC上,求m的取值范围;
(3)若直线BE与直线AB所夹锐角为45°,请直接写出直线BE的函数解析式.
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