Question

11．如图，直线PA∥QB，∠PAB与∠QBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两直线PA，QB分别相交于点D，E．
（1）如图①，当直线l与PA垂直时，求证：AD+BE=AB；
（2）如图②，当直线l与PA不垂直且交于点D，E都在AB同侧时，CD中的结论是否成立？如果成立，请证明：如不成立，请说明理由．
（3）当直线l与PA不垂直且交于点D，E都在AB异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明； 如果不成立，请写出AD，BE，AB之间的数量关系（不用证明）．

Answer 1

分析 （1）根据各线段之间的长度，先猜想AD+BE=AB；
（2）在AB上截取AG=AD，连接CG，利用三角形全等的判定定理可判断出AD=AG．同理可证BG=BE，即AD+BE=AB；
（3）画出直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时的图形，分两种情况讨论：①当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时；②点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线BN上时；得到AD，BE，AB之间的关系．

解答 （1）证明：如图1，过C作CF⊥AB于F，
∵AC平分∠PAB，BC平分∠QBA
，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵l⊥AP，PA∥BQ，
∴∠EDA=∠DEB=90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠ACB=90°，
在△CDA与△CFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠ADC=∠CFA=90°}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACF，
∴AD=AF，
同理BF=BE，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AD+BE；

（2）如图2，在AB上截取AG=AD，连接CG．
∵AC平分∠MAB，
∴∠DAC=∠CAB，
在△ADC与△AGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AG}\\{∠DAC=∠GAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AGC（SAS），
∴∠DCA=∠ACG，
∵AP∥BQ，
∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°，
∵∠DAC=∠CAB，∠GBC=∠CBE，
∴∠CAB+∠GBC=90°，
∴∠ACB=90°即∠ACG+∠GCB=90°，
∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠GCB=∠ECB，
在△BGC与△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCB=∠ECB}\\{BC=BC}\\{∠ABC=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△BGC≌△BEC，
∴BG=BE，
∴AD+BE=AG+BG，
∴AD+BE=AB；

（3）不成立．
存在，当点D在射线AP上、点E在射线BN的反向延长线上时（如图3），AD-BE=AB；
当点D在射线AP的反向延长线上，点E在射线BN上时（如图4），BE-AD=AB．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．