Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，?EFGH的顶点F、G、H分别在AC，AB，BC边上，且FC=CH．
（1）请仅用无刻度的直尺作出∠ACB的平分线．
（2）在（1）中，若∠ACB的平分线与AB交于点D，则下列关于点D的说法中正确的是（　　）
A．点D是AB的中点
B．点D是AB的一个黄金分割点
C．点D是AB的一个三等分点
D．AD：DB=3：2．

Answer 1

分析 （1）连接FH，EG，由?EFGH的对角线互相平分，得到点O是FH的中点，由三线合一得到CD是角的平分线；
（2）由等腰三角形的性质和角平分线的性质得到△CDB∽△ABC，列比例式求得AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，得到点D是AB的一个黄金分割点．

解答 解：（1）如图连接EG，FH，交于点O，连接CO并延长交AB于D，
则AD即为所求；
（2）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵AD是∠ACB的平分线，
∴∠DCB=∠ACD=36°，
∴∠CDB=72°，
∴∠B=∠CDB，∠A=∠ACD，
∴CD=CB，AD=CD，
设BC=AD=CD=x，AC=AB=y，则BD=y-x，
∵△CDB∽△ABC，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{BC}{BD}$，∴$\frac{y}{x}$=$\frac{x}{y-x}$，
即：y²-xy-x²=0，
∴x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴点D是AB的一个黄金分割点．
故选B．

点评 本题考查了基本作图，等腰三角形的判定与性质，黄金分割，相似三角形的判定和性质，解题的关键是列比例式解得AD的长度后，能判断点D是黄金分割点．