如图甲.已知梯形ABCD中.AD∥BC.∠D=90°.BC=5.CD=3.cotB=1.P是边BC上的一个动点.过点P作射线PE.使射线PE交射线BA于点E.∠BPE=∠CPD．(1)如图乙.当点E与点A重合时.求∠DPC的正切值,(2)当点E落在线段AB上时.设BP=x.BE=y.试求y与x之间的函数解析式.并写出x的取值范围,(3)设以BE长为半径的⊙B和以AD长为直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．如图甲，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=5，CD=3，cotB=1，P是边BC上的一个动点（不与点B、点C重合），过点P作射线PE，使射线PE交射线BA于点E，∠BPE=∠CPD．
（1）如图乙，当点E与点A重合时，求∠DPC的正切值；
（2）当点E落在线段AB上时，设BP=x，BE=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）设以BE长为半径的⊙B和以AD长为直径的⊙O相切，求BP的长．

分析（1）作AH⊥BC于H，证明△AHP≌△DCP，求出PC的长，得到∠DPC的正切值；
（2）作EM⊥BC于M，用x、y表示BM、PM，证明△EPM∽△DPC，得到y与x之间的函数解析式；
（3）分点E在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况，根据两圆相切时，圆心距与两圆半径的关系解答即可．

解答解：（1）如图1，作AH⊥BC于H，

在△AHP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPF=∠CPD}\\{∠AHP=∠DCP}\\{AH=DC}\end{array}\right.$
∴△AHP≌△DCP（AAS），
∴HP=PC
∵cotB=1，
∴∠B=45°，BH=AH=3，HP=PC=1，
tan∠DPC=3

（2）如图2，作EM⊥BC于M，

EM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，PM=x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，
△EPM∽△DPC，
∴$\frac{EM}{CD}$=$\frac{PM}{CP}$
$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}y}{3}$=$\frac{x-\frac{\sqrt{2}}{2}y}{5-x}$，y=$\frac{3\sqrt{2}x}{8-x}$（0＜x≤4）

（3）如图3，

∵O为AD的中点，
∴BO=5，
当E在边AB上时，BO=BE+AO
5=1+$\frac{3\sqrt{2}x}{8-x}$，BP=x=48$\sqrt{2}$-64，
当E在边AB延长线上时，BO=BE-AO
5=$\frac{3\sqrt{2}x}{8-x}$-1，BP=x=16-8$\sqrt{2}$

点评本题考查的是直角梯形、相似三角形、锐角三角函数、两圆相切的知识，综合性较强，需要学生有综合运用知识的能力和严谨的逻辑思维能力，解答时，注意数形结合思想和分类讨论思想的运用．

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