Question

20．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．
（1）求证：AC⊥ED；
（2）求证：△ACD≌△ACE；
（3）请猜测CD与DH的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）在等腰直角△ADE中，根据等腰三角形三线合一的性质可得AH⊥ED，即AC⊥ED；
（2）由（1）证得∠ABC=90°，AB=BC，得到∠BAC=∠ACB=45°，由∠BAD=90°，得到∠BAC=∠DAC，得到△ACD≌△ACE；
（3）根据全等三角形对应边相等可得CD=CE，再求出∠CED=60°，得到△CDE为等边三角形，得到∠DCH=30°，CD=2DH．

解答 解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°
∴∠BAD=90°，
又∵AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-45°=45°，
∴∠BAC=∠CAD，
∴AH⊥ED，
即AC⊥ED；

（2）由（1）证得∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ACD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠EAC=DAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACE（SAS）；

（3）CD=2DH．
∵由（1）证得∠BAC=∠CAD，
在△ACD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠BAC=∠CAD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴CD=CE，
∵∠BCE=15°，
∴∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°，
∴∠CED=180°-∠BEC-∠AED=180°-75°-45°=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCH=30°，
∴CD=2DH．

点评 此题考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．熟记各性质是解题的关键