Question

11．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，D是BC边上一动点，G是BC边上的一动点，GE∥AD分别交AC、BA或其延长线于F、E两点
（1）如图1，当BC=5BD时，求证：EG⊥BC；
（2）如图2，当BD=CD时，FG+EG是否发生变化？证明你的结论；
（3）当BD=CD，FG=2EF时，DG的值=$\frac{\sqrt{5}}{3}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理得出BC，进一步求得BD，根据“SAS”证得△BDA∽△BAC，得出∠BDA=∠BAC=90°，EG∥AD，进一步得出结论；
（2）当BD=CD时，FG+EG=2$\sqrt{5}$不发生变化，利用△CFG∽△CAD，△ABD∽△AGE求得结论成立（也可作出辅助线，辅助线多种作法求得结论）；
（3）分两种情况：F在CA的延长线上和E在BA的延长线上，由此画出图形，利用相似得出结论．

解答 证明：（1）如图1，

∵∠BAC=90°，AB=2，AC=4，
∴BC=2$\sqrt{5}$，
∵BC=5BD，
∴BD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{BA}{BD}$=$\frac{BC}{BA}$=$\sqrt{5}$
又∵∠DBA=∠ABC，
∴△BDA∽△BAC，
∴∠BDA=∠BAC=90°，
∵EG∥AD，
∴EG⊥BC．
（2）FG=EG=2$\sqrt{5}$不变，
证法1：如图2，

∵EG∥AD，
∴△CFG∽△CAD，
∴$\frac{FG}{AD}$=$\frac{CG}{CD}$，
同理$\frac{EG}{AD}$=$\frac{BG}{BD}$，
∵BD=CD，
∴$\frac{FG}{AD}$+$\frac{EG}{AD}$=$\frac{BG}{BD}$+$\frac{CG}{CD}$=2，
∴EG+FG=2AD，
∵BD=CD，∠BAC=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{5}$，
∴EG+FG=2AD=2$\sqrt{5}$．
证法2：如图3，

取EF的中点，易证四边形ADGH是平行四边形，
得出EG+FG=2GH=2AD=2$\sqrt{5}$．
证法3：如图4，

中线AD加倍到M，易证四边形AMNE是平行四边形，
得出EG+FG=EN=AM=2AD=2$\sqrt{5}$．
（3）如图5，

当BD=CD，FG=2EF时，
则GE=EF，
∵GE∥AD，AD∥GF，
∴△CFG∽△CAD，△ABD∽△BGE，
∴$\frac{GE}{AD}$=$\frac{BG}{BD}$，$\frac{CG}{CD}$=$\frac{GF}{AD}$，
∴$\frac{CG}{BG}$=$\frac{GF}{GE}$=$\frac{2}{1}$；
又BG+CG=2$\sqrt{5}$，
∴BG=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，
∴DG=BD=BG=$\frac{\sqrt{5}}{3}$；
如图6，

当BD=CD，FG=2EF时，
则GE=EF，
∵GE∥AD，AD∥GF，
∴△CFG∽△CAD，△ABD∽△AGE，
∴$\frac{GF}{AD}$=$\frac{CG}{CD}$，$\frac{GE}{AD}$=$\frac{BG}{BD}$，
∴$\frac{CG}{BG}$=$\frac{GF}{GE}$=$\frac{2}{3}$；
又BG+CG=2$\sqrt{5}$，
∴CG=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
∴DG=CD-CG=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
综上所知DG为$\frac{\sqrt{5}}{3}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题考查相似的综合，勾股定理的运用，相似三角形的判定与性质，关键在于结合题意，分类画出图形，探讨问题的答案．