Question

1．已知：关于x的函数y=kx²+k²x-2的图象与y轴交于点C，
（1）当k=-2时，求图象与x轴的公共点坐标；
（2）若x≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围；
（3）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）当k=-2时，函数为y=-2x²+4x-2，令y=0，求出x的值即可；
（2）首先判断出抛物线开口向下，对称轴在直线x=1的左侧，列出k的不等式，求出k的取值范围；
（3）先求出OC的长，进而求出点A坐标，把点A坐标代入函数y=kx²+k²x-2，即可求出k的值．

解答 解 （1）当k=-2时，函数为y=-2x²+4x-2，
令y=0，则-2x²+4x-2=0，
解得：x₁=x₂=1，
∴图象与x轴公共点为（1，0）．

（2）由“x≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下，
∴k＜0，且对称轴在直线x=1的左侧，
∴-$\frac{{k}^{2}}{2k}$≤1，即$-\frac{k}{2}$≤1，
解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{-\frac{k}{2}≤1}\end{array}\right.$，得-2≤k＜0，

（3）当△AOC是等腰三角形时，
∵∠AOC=90°，OC=2，
∴可得OA=OC=2，
∴点A的坐标为（2，0）或（-2，0），
把x=2，y=0代入解析式得2k²+4k-2=0，解得k₁=-1+$\sqrt{2}$，k₁=-1-$\sqrt{2}$，
把x=-2，y=0代入解析式得-2k²+4k-2=0，解得k₁=k₁=1，
∴k的值为-1+$\sqrt{2}$或-1-$\sqrt{2}$或1．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，解答（2）问时确定对称轴在直线x=1的左侧是关键，此题难度不大．