Question

【题目】抛物线y=ax2+bx+4A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接CB，若点P在直线BC上方的抛物线上，△BCP的面积为15，求点P的坐标；
（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为弧ACE上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得： ，

解得： ．

∴抛物线得解析式为y=x2﹣6x+4

（2）解：如图所示：

设点P的坐标为P（m，m2﹣6m+4）

∵S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD，

∴ m（5+m2﹣6m+4+1）﹣ ×5×5﹣ （m﹣5）（m2﹣6m+5）=15，

化简得：m2﹣5m﹣6=0，

解得：m=6，或m=﹣1，

∴点P的坐标为（6，4）或（﹣1，11）

（3）解：连接AB、EB，

∵AE是圆的直径，

∴∠ABE=90°，

∴∠ABE=∠MBN，

又∵∠EAB=∠EMB，

∴△EAB∽△NMB，

∵A（1，﹣1），B（5，﹣1），

∴点O1的横坐标为3，

将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，

∴点C的坐标为（0，4），

设点O1的坐标为（3，m），

∵O1C=O1A，

∵OC=4，O1到OC的距离=3，

∴⊙O1的半径= ，

∴ = ，

解得：m=2，

∴点O1的坐标为（3，2），

∴O1A= ，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE= = =6，

∴点E的坐标为（5，5），

∴AB=4，BE=6，

∵△EAB∽△NMB，

∴ = ，

∴ = ，

∴NB= BM，

∴当MB为直径时，MB最大，此时NB最大，

∴MB=AE=2 ，

∴NB= ×2 =3

【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程，从而可求得a、b的值；（2）设点P的坐标为P（m，m2﹣6m+4），根据S△CBP=15，由S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD ， 得到关于m的方程求得m的值，从而可求得点P的坐标；（3）首先证明△EAB∽△NMB，从而可得到NB= ，当MB为圆的直径时，NB有最大值．