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【题目】在正方形ABCD中,点PCD边上一动点,连接PA,分别过点BD,垂足分别为EF

如图,请探究BEDFEF这三条线段的长度具有怎样的数量关系?

若点PDC的延长线上,如图,那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?

若点PCD的延长线上,如图,请直接写出结论.

【答案】(1);(2);(3)

【解析】

试题(1)在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系:BE-DF=EF,理由为:由BE垂直于AP,DF垂直于AP,得到一对直角相等,再由四边形ABCD为正方形,得到AB=AD,且∠BAD为直角,利用同角的余角相等得到一对角相等,利用AAS得到三角形ABE与三角形DFA全等,利用全等三角形对应边相等得到BE=AF,AE=DF,根据AF-AE=EF,等量代换即可得证;(2)在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系:DF-BE=EF,理由同(1);(3)在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系:DF+BE=EF,理由同(1).

试题解析:(1)在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系:BE-DF=EF;

证明:∵BEPA,DFPA,

∴∠BEA=AFD=90°,

∵四边形ABCD是正方形,

AB=AD,BAD=90°,

∴∠BAE+DAF=90°,

又∵∠AFD=90°,

∴∠ADF+DAF=90°,

∴∠BAE=ADF,

BAEADF中,

∴△BAE≌△ADF(AAS),

BE=AF,AE=DF,

AE-AF=EF,

DF-BE=EF.

(2)在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系:DF-BE=EF;

BEPA,DFPA,

∴∠BEA=AFD=90°,

∵四边形ABCD是正方形,

AB=AD,BAD=90°,

∴∠BAE+DAF=90°,

又∵∠AFD=90°,

∴∠ADF+DAF=90°,

∴∠BAE=ADF,

BAEADF中,

∴△BAE≌△ADF(AAS),

BE=AF,AE=DF,

AE-AF=EF,

DF-BE=EF.

(3)在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系:DF+BE=EF,

理由为:∵BEPA,DFPA,

∴∠BEA=AFD=90°,

∵四边形ABCD是正方形,

AB=AD,BAD=90°,

∴∠BAE+DAF=90°,

又∵∠AFD=90°,

∴∠ADF+DAF=90°,

∴∠BAE=ADF,

BAEADF中,

∴△BAE≌△ADF(AAS),

BE=AF,AE=DF,

AE+AF=EF,

DF+BE=EF.

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