Question

Rt△ABO在平面直角坐标系中的位置如图，AO=2，BO=2

3

，∠ABO=30°，在坐标轴上是否存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与△ABO相似（不含全等三角形）？若存在，则写出坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,坐标与图形性质

专题：

分析：本题可分两种情况：当点D在y轴上时和点D在x轴上时分别讨论，根据射影定理即可求出点D的坐标．

解答：解：在坐标轴上存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与△ABO相似，
理由如下：
当点D在y轴上时则△ABO∽△AD0，
∴AO²=BO•OD，
即4=2

3

×OD，
∴OD=

2 3

3

，
∴点D的坐标是（0，-

2 3

3

）；
当点D在x轴上时则△ABO∽△BD0，
∴BO²=AO•OD，
即12=2×OD，
∴OD=6，
∴点D的坐标是（6，0）．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、射影定理以及平面直角坐标系中点的坐标特征等知识．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．