Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC，B（-2，0），，tan∠CAO=，
（1）求直线AC的解析式；
（2）动点P从点B出发以5个单位/秒的速度沿BC向终点C运动，过P作PQ⊥AC，垂足为Q，设点P运动时间为t，线段CQ长为y，求y与t的函数关系式；（并直接写出时间t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，连接OQ，将△COQ沿着直线OQ折叠，得到△EOQ（C的对称点为E），在点P的运动过程中，是否存在EQ垂直于△ABC的一边（AB边除外）？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵tan∠CAO=，
∴设OC=4x，则OA=3x，
又∵OA=BC，
∴3x=（2+4x），
解得x=2，
∴OA=6，OC=8，
∴A（0，6），C（8，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，则
b=6，8k+b=0，
∴b=6，k=-，
故直线AC的解析式为y=-x+6；

（2）在Rt△AOC中，AC=．
∵BP=5t，BC=10，∴CP=10-5t．
在Rt△CPQ中，cosC=，
∴y=QC=PC•cosC=（10-5t）=8-4t（0≤t＜2）；

（3）在点P的运动过程中，存在EQ垂直于△ABC的一边．理由如下：
若延长EQ交BC于M，则QE=CQ=8-4t．
①若QE⊥BC，则∠QMC=90°．
QM=QC•sinC=（8-4t），MC=QC•cosC=（8-4t），
∴EM=QE+QM=（8-4t），OM=OC-MC=8-（8-4t）=+，
tanE=tanC===，
∴t=1；
②若QE⊥AC，则∠EQC=90°，
∴∠OQE=∠OQC=135°，∠OQA=45°．
作OM⊥AC于M，则OM=OC•sinC=8×=，MC=OC•cosC=×8=．
∵△OQM中，∠OMQ=90°，∠OQM=45°，
∴∠MOQ=45°，
∴MQ=OM=，
∴QC=，
∴8-4t=，
解得t=．
综上可知，在点P的运动过程中，存在EQ垂直于△ABC的一边（AB边除外），此时t的值为1或．
分析：（1）先根据正切函数的定义设OC=4x，则OA=3x，再由OA=BC，列出关于x的方程，求出A、C两点的坐标，然后运用待定系数法求出直线AC的解析式；
（2）在Rt△CPQ中，运用余弦函数的定义求出y与t的函数关系式，并根据动点P的运动范围写出时间t的取值范围；
（3）分两种情况讨论：①QE⊥BC，②QE⊥AC．
点评：本题主要考查了运用待定系数法求函数的解析式，勾股定理，解直角三角形，以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据E点的不同位置进行分类求解．