Question

19．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠D=90°，AD=7，AB=2，DC=3，P为AD上一点，以P，A，B为顶点的三角形与以P，D，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有几个？为什么？

Answer 1

分析 设AP=x，则PD=AD-AP=7-x，然后分类讨论：若∠APB=∠DPC，则Rt△APB∽Rt△DPC，得到$\frac{AP}{PD}$=$\frac{AB}{CD}$，即$\frac{x}{7-x}$=$\frac{2}{3}$；若∠APB=∠PCD，则Rt△APB∽Rt△DCP，得到$\frac{AP}{CD}$=$\frac{AB}{PD}$，即$\frac{x}{3}$=$\frac{2}{7-x}$，再分别解关于x的方程求出x的值，则可确定P点的位置．

解答 解：设AP=x，则PD=AD-AP=7-x，
若∠APB=∠DPC，则Rt△APB∽Rt△DPC，
所以$\frac{AP}{PD}$=$\frac{AB}{CD}$，即$\frac{x}{7-x}$=$\frac{2}{3}$，解得x=$\frac{14}{5}$；
若∠APB=∠PCD，则Rt△APB∽Rt△DCP，
所以$\frac{AP}{CD}$=$\frac{AB}{PD}$，即$\frac{x}{3}$=$\frac{2}{7-x}$，解得x₁=1，x₂=6，
所以当AP=$\frac{14}{5}$或1或6时，以P，A，B为顶点的三角形与以P，D，C为顶点的三角形相似，即这样的P点有三个．

点评 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了分类讨论的思想．