Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=x+3m交x轴于点A，交y轴于点B，线段BC为△ABC中∠ABO的角平分线，OC=3．
（1）求m的值；
（2）点A关于点O的对称点为D．过点D作x轴的垂线DE，动点P从D出发，以每秒一个单位的速度沿DE方向运动，过P作x轴的平行线分别交线段AB、BC于点M、N，设MN的长度为y（y≠0），P点的运动时间为t，当0＜t＜3时，求y与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当以P为圆心，y为半径的⊙P上有且只有一点到直线AB的距离为时，求此时t的值．

Answer 1

解：（1）∵直线y=x+3m交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（4m，0），B（0，3m），
∴AB==5m，
过点C作CH⊥AB于H，
∴∠BOC=∠BHC=90°，
∵线段BC为△ABC中∠ABO的角平分线，
∴∠1=∠2，
在△OBC和△HBC中，
，
∴△OBC≌△HBC（AAS），
∴BO=BH=3m，OC=CH=3，
在Rt△AHC中，CH²+AH²=AC²，
∴3²+（2m）²=（4m-3）²，
解得：m=2；

（2）由（1）得A（8，0），B（0，6），
∴直线AB的解析式为y=-x+6，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴，
∴解得：，
∴直线BC的解析式为：y=-2x+6，
∵D（-8，0），
∴P（-8，t），
∴把y=t分别代入直线AB、BC的解析式，
∴M（8-t，t），N（3-t，t），
∴y_MN=-t+5，

（3）在⊙P上任取一点，过该点作AB的平行线，若此直线与圆相交，则在圆上有两点到直线AB的距离为；
若此直线与圆相切，则⊙P上有且只有一点到直线AB的距离为，
作FG∥AB，与⊙P切于点为I，连接PI并延长交直线AB于点K，DP与直线AB交于点Q，
∴∠QKP=90°，
把x=-8代入直线AB解析式y=-x+6，
得：Q（-8，12），
∴DQ=12，
在Rt△QPK中，PQ=12-t，tan∠PQA=tan∠ABO=，
∴PK=，
∵PK-PI=IK，
∴-（-t+5）=，
解得：t=2，
当t=3时，PK=＞，
∴t有唯一解．
分析：（1）由直线的解析式可求出A，B两点的坐标，利用勾股定理可求出AB的长，过点C作CH⊥AB于H，再证明△OBC≌△HBC（AAS），由全等的性质可得：BO=BH=3m，OC=CH=3，在Rt△AHC中，CH²+AH²=AC²，进而求出m的值；
（2）由（1）得A（8，0），B（0，6），所以可求出直线AB的解析式，设直线BC的解析式为y=kx+b，利用已知条件可求出直线BC的解析式，进而求出D和P点的坐标
把y=t分别代入直线AB、BC的解析式，求出M，N的坐标C从而求出y与t之间的函数关系式；
（3）在⊙P上任取一点，过该点作AB的平行线若此直线与圆相交，则在圆上有两点到直线AB的距离为；若此直线与圆相切，则⊙P上有且只有一点到直线AB的距离为，作FG∥AB，与⊙P切于点为I，连接PI并延长交直线AB于点K，DP与直线AB交于点Q，在Rt△QPK中，PQ=12-t，tan∠PQA=tan∠ABO=，可建立求出t的值．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用，用待定系数法求一次函数的解析式以及圆的切线的性质和锐角三角函数的定义，题目的综合性强，难度大，对学生的综合解题能力要求很高．