Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC、BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD、FH．

（1）求证：△HGF∽△HFB；

（2）求证：BD=EF；

（3）连接HE，若AB=2，求△HEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）直接利用角平分线的定义结合相似三角形的判定方法得出答案；

（2）首先得出△ABC≌△EBF（ASA），进而得出BD=AC=EF；

（3）结合勾股定理得出EF2=BE2+BF2=22+（2+2）2=16+8，进而得出S△HEF=HFHE=HE2，求出答案即可．

（1）证明：∵BH为∠EBF的平分线，

∴∠EBH=∠FBH，

又∵∠EBH=∠EFH，

∴∠EFH=∠FBH，

而∠BHF=∠BHF，

∴△HGF∽△HFB；

（2）证明：∵∠ABC=90°，

∴∠EBF=∠ABC=90°，

∵∠BFE+∠A=90°，∠C+∠A=90°，

∴∠BFE=∠C，

在△ABC和△EBF中

，

∴△ABC≌△EBF（ASA），

∴AC=EF，

∵∠ABC=90°，D为AC中点，

∴BD=AC=EF；

（3）解：连接EA，EH，由于DF为垂直平分线，

∴CE=EA=AB=2，BF=BC=2+2，

∴EF2=BE2+BF2=22+（2+2）2=16+8，

又∵BH为∠EBF平分线，

∴∠HEF=∠HFE=45°，

∴HE=HF且HE2+HF2=EF2，

∴HE2=HF2=8+4，

∴在等腰Rt△HEF中，S△HEF=HFHE=HE2=4+2．